Metode Cramer

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab: bentuk matrik A dan b

A =  b = 

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ =  A₂ =  A₃ = 

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka,

R=E_r...E₂ E₁ A

dan,

det(R)=det(E_r)...det(E₂)det(E₁)det(E_A)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A=

karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

Read More

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Metode Cramer

Setelah kita memahami cara penulisan sistem persamaan linear dengan matriks, kita dapat menyelesaikan persamaan linear tersebut dengan menggunakan matrik, operasi baris elementer dan cramer. Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda cramer. Jika AX = B  adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem  tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X₁ = det (A₁) / det (A)

X₂ = det (A₂) / det (A)

X_n = det (A_n) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :

-x₁   +  x₂   +  2x₃  = -5

2x₁  -   x₂   +  x₃    =  1

x₁    +  x₂     -   x₃    =  5

jawab :

bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :

Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

Det A = {(-1).(-1).(-1)+  1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}

 ={ (-1  + 1 + 4) – (-2 +  (-1) + (-2)}    = { 4 – (-5)}    ={ 4 + 5}      = 9

Det A₁ =

Det A₁ = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10  +  (-5)  +  (-1) ) = 2 + 16 = 18

Det A₂=

Det A₂= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9

Det A₃=

Det A₃= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18

Sehingga diperoleh :

X₁= Det (A_{1 )}/ Det (A)  = 18 /9 = 2

X₂ = Det (A_{2 )}/ Det (A) = 9 / 9 = 1

X₃ = Det (A_{3 )}/ Det (A) = -18 / 9 = -2

Jadi pemecahan untuk SPL  tersebut adalah :

                                 X₁= 2  ,       X₂=  1  ,         X₃= -2

Read More